גרינספן, בת למשפחה יהודית-פולנית, שיתפה בפודקאסט של האו"ם בשנת 2022 את סיפור משפחתה. הוריה נמלטו מאזורים שונים בפולין לרוסיה בשנת 1936, בניסיון להימלט מהאנטישמיות הגוברת ומחשש מהתפשטות הנאציזם. אביה הגיע לרוסיה עם רוב משפחתו, ואילו אמה עזבה את פולין עם שתי אחיותיה. הוריהם שנשארו מאחור, סיפרה, "נרצחו בשואה. הם לא ראו אותם שוב לעולם".
לאחר מלחמת העולם השנייה, הגיעו הוריה, שטרם הכירו באותה עת, למחנות עקורים וניסו להגיע לפלשתינה המנדטורית. עם זאת, השלטונות הבריטיים עצרו את שניהם במהלך מסעם הבלתי חוקי, וכלאו אותם בקפריסין. שם, על פי גרינספן, נפגשו הוריה והתאהבו. "הם הגיעו לקוסטה ריקה כשהם כבר נשואים", ציינה.
על פי סקרי החלוקה הפנימיים שנערכו במועצת הביטחון של האו"ם, הכוללת 15 חברות, גרינספן מובילה בארבעה מתוך חמישה סבבים. מועצת הביטחון היא הגוף הממליץ על מועמד יחיד לאספה הכללית של האו"ם, אשר אמונה על המינוי הרשמי על פי אמנת האו"ם.
בסקר האחרון שנערך ב-7 באוקטובר, קיבלה גרינספן תשעה קולות תמיכה. היום, חברות מועצת הביטחון צפויות לקיים את סבב ההצבעה השישי לבחירת המועמד. יחד עם גרינספן, המועמדת מטעם קוסטה ריקה, מתמודדים מועמדים נוספים מאקוודור, ארגנטינה, אוגנדה, גיאנה וסנגל.
גרינספן מחזיקה בעמדות ביקורתיות כלפי מדיניות ישראל, בעיקר בנוגע למלחמה ברצועת עזה ולשליטה הישראלית בשטחים הפלסטיניים. בנובמבר 2023 גינתה את הפגיעה באזרחים בעזה והדגישה כי שום צד בסכסוך אינו נמצא מעל למשפט ההומניטרי הבינלאומי.
בדוח שפורסם בתקופת כהונתה כמזכ"לית ועידת האו"ם לסחר ולפיתוח, UNCTAD, תוארו ההשלכות הכלכליות החמורות של הפעילות הצבאית הישראלית וההגבלות שהטילה ישראל על הרצועה. עם זאת, גרינספן גינתה גם את מתקפת חמאס ב-7 באוקטובר, דרשה את שחרור החטופים ותומכת בפתרון שתי המדינות.
לפי דיווח בעיתון הברזילאי פוליה דה סאו פאולו מאתמול (שבת), עמדותיה הביקורתיות כלפי פעולות ישראל בעזה וביהודה ושומרון בתקופת כהונתה ב-UNCTAD הן אחד הגורמים להסתייגות האמריקנית ממועמדותה למזכ"לית האו"ם.
התרעות פיקוד העורף